Die Frage
Ein Schachbrett hat 8 mal 8 Felder. Ein Dominostein bedeckt genau zwei Felder, die eine gemeinsame Kante haben. Die beiden gegenüberliegenden Eckfelder oben links und unten rechts werden entfernt.
Kannst du die übrigen 62 Felder mit 31 Dominosteinen bedecken, ohne dass sich Steine überlappen oder über den Rand hinausragen?
Zeichne dir ein Brett und probiere es aus. Was fällt dir auf?
Ein kleiner Hinweis
Denke an die zwei Farben eines Schachbretts. Welche Farben bedeckt ein einzelner Dominostein?Die Lösung lesen
Jeder Dominostein bedeckt genau ein helles und ein dunkles Feld. 31 Steine müssten also 31 helle und 31 dunkle Felder bedecken.Gegenüberliegende Ecken haben dieselbe Farbe. Nach dem Entfernen bleiben 30 Felder dieser Farbe und 32 der anderen Farbe übrig. Daher ist eine vollständige Bedeckung unmöglich.
Warum ist das ein Beweis?
Wir haben nicht jede mögliche Anordnung ausprobiert. Stattdessen haben wir eine Eigenschaft gefunden, die jede Anordnung erfüllen müsste. Das veränderte Brett erfüllt sie nicht.
Denk weiter
Was passiert, wenn du zwei benachbarte Eckfelder meinst, also zum Beispiel die Ecke oben links und die Ecke oben rechts? Haben sie dieselbe Farbe? Findest du für dieses Brett eine Bedeckung?
Gleich viele helle und dunkle Felder zu haben ist notwendig. Bei beliebig geformten Brettern reicht diese Bedingung allein aber nicht aus.